整除例1:
一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，適合這些條件的最小數(shù)是______。
講析：所求這個數(shù)分別除以3和7時，余數(shù)相同。
3和7的最小公倍數(shù)為21。所以這個數(shù)是23。經(jīng)檢驗(yàn)，23除以5商4余3，23是本題的答案。
例2：
一個整數(shù)在3600到3700之間，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。這個整數(shù)是__。
講析：所求整數(shù)分別除以3、5、7以后，余數(shù)各不相同。但仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把這個數(shù)加上4以后，它就能同時被3、5、7整除了。
因?yàn)?、5和7的最小公倍數(shù)是105。
3600÷105=34余30，105-30=75，
所以，當(dāng)3600加上75時，就能被3、5和7整除了。即所求這個整數(shù)是3675。
例3：
在一個兩位數(shù)中間插入一個數(shù)字，就變成了一個三位數(shù)。如52中間插入4后變成542。有些兩位數(shù)中間插入某個數(shù)字后變成的三位數(shù)，是原兩位數(shù)的9倍。這樣的兩位數(shù)共有__個。
講析：因?yàn)椴迦胍粋�數(shù)字后，所得的三位數(shù)是原兩位數(shù)的9倍，且個位數(shù)字相同。則原兩位數(shù)的個位數(shù)字一定是0或5。
又插入的一個數(shù)字，必須小于個位數(shù)字，否則新三位數(shù)就不是原兩位數(shù)的9倍了。因此原二位數(shù)的個位不能為0，而一定是5。
結(jié)合被9整除的數(shù)字特征，不難找到符合要求的兩位數(shù)有45、35、25和15共4個。
例4：
a是一個自然數(shù)，已知a與a+1的各位數(shù)字之和都能被7整除，那么這樣的自然數(shù)a最小是__。
講析：a與a+1的各位數(shù)字之和都是7的倍數(shù)。則a的個位數(shù)字一定是9。因?yàn)槿绻麄�位上不是9時，若a的各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則a+1的各位數(shù)字之和除以7以后，肯定余1。
只有當(dāng)a的個位上是9時，a+1之后，個位上滿十后向前一位進(jìn)一，a+1的個位數(shù)字和才有可能是7的倍數(shù)。
聯(lián)想到69，69+1=70，經(jīng)適當(dāng)調(diào)整可得，符合條件的最小數(shù)a是69999。
例5：
一個自然數(shù)被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一個商是a[見圖5.43（1）]，又知這個自然數(shù)被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一個商是2a[見圖5.43（2）]，求這個自然數(shù)。
講析：可從最后的商步步向前推算。
由圖5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然數(shù)是8×（64a+57）+1=512a+457
由圖5.43（2）得，所求的自然數(shù)是578a+259
所以，512a+457=578a+259。
解得a=3。
故，這個自然數(shù)是512×3+457=1993。
例6：
某住宅區(qū)有十二家住戶。他們的門牌號分別是1、2、3、……、12。他們的電話號碼依次是十二個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每戶的電話號碼都能被這戶的門牌號整除。已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除。問這一家的電話號碼是什么數(shù)？
講析：設(shè)這十二家住戶的電話號碼依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。
因?yàn)槊繎舻碾娫捥柎a都能被自己家的門牌號整除，所以數(shù)a能同時被1、2、3、……、12整除。
而1、2、3、……、12的最小公倍數(shù)是27720，所以六位數(shù)中，能同時被1、2、3、……12整除的最小自然數(shù)是27720×4=110880
現(xiàn)在考慮第九戶人家的電話號碼能被13整除問題。
因?yàn)?10880÷13，余數(shù)是12；27720÷13，余數(shù)是4。
也就是在110889的基礎(chǔ)上，再加上n個27720之后的和，能被13整除的數(shù)，就是所求的數(shù)。
即12+4n，是13的倍數(shù)。
顯然，當(dāng)n=10時，12+4n是13的倍數(shù)。
所以，門牌號碼是9的這家電話號碼是：
110889+27720×10=388089。
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