如何學(xué)好初中數(shù)學(xué)?

下面分段談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)的幾個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。

平面幾何中有若干個(gè)基本圖形，其中線(xiàn)段和角度比較簡(jiǎn)單不說(shuō)。三角形是第一個(gè)形式簡(jiǎn)單，但是概念和外延非常豐富的基本圖形。如果你正在學(xué)或者已經(jīng)學(xué)過(guò)了三角形，那么請(qǐng)思考這樣幾個(gè)問(wèn)題：

①  三角形的內(nèi)角和定理是什么？怎么證明的？

②  三角形的三邊關(guān)系定理是什么？如何表達(dá)？怎么證明的？

③  等腰三角形的三線(xiàn)合一定理及其推論的內(nèi)容是什么？你會(huì)證明嗎？

④  勾股定理及其逆定理內(nèi)容是什么？你知道幾個(gè)勾股定理的證明方法？

⑤  你知道三角形的四線(xiàn)和四心嗎？它們都有什么性質(zhì)？如何證明？

以上五個(gè)問(wèn)題如果都正確回答出了第一問(wèn)，那么你是一個(gè)程度還不錯(cuò)的學(xué)生；如果第二問(wèn)都能正確回答出來(lái)，那么你是一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生。并且我相信，你這種喜歡問(wèn)為什么，喜歡思考鉆研的態(tài)度會(huì)對(duì)以后的學(xué)習(xí)產(chǎn)生莫大的幫助。

 

下圖是證明勾股定理的方法之一。用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖的正方形，你知道如何推出勾股定理來(lái)嗎？

 

 下面兩圖是用八個(gè)相同的直角三角形拼出來(lái)的。你會(huì)看圖并據(jù)此證明勾股定理嗎？有沒(méi)有感受并體會(huì)到這些方法的巧妙呢？

 下圖中G是任意三角形ABC的重心(三條中線(xiàn)的交點(diǎn))，則有AG=2GD,BG=2GF,CG=2GE(感興趣的同學(xué)可以證明一下)。

 

 三角形是整個(gè)平面幾何的基石，三角形的問(wèn)題往往包含了線(xiàn)段，角度，角平分線(xiàn)，中垂線(xiàn)等基本模型。學(xué)好了三角形，平面幾何就學(xué)好了一半，學(xué)后面的四邊形和圓就會(huì)在一個(gè)比較高的起點(diǎn)上，就感覺(jué)不那么難了。

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四邊形是在三角形基礎(chǔ)之上的一個(gè)組合圖形。主要包括平行四邊形，矩形，菱形，正方形和梯形。為什么說(shuō)四邊形是一個(gè)“組合圖形”呢？你看，平行四邊形是不是兩個(gè)全等的普通三角形拼起來(lái)的？矩形是不是由兩個(gè)全等的直角三角形拼起來(lái)的？菱形是不是由兩個(gè)全等的等腰三角形拼起來(lái)的？正方形是不是由兩個(gè)全等的等腰直角三角形拼起來(lái)的？這些東西書(shū)上都沒(méi)有，但是都很容易發(fā)現(xiàn)。所以要學(xué)好數(shù)學(xué)，需要做一個(gè)善于發(fā)現(xiàn)，善于總結(jié)的人。

當(dāng)然，平行四邊形作為一個(gè)整體，有它自身的獨(dú)特性質(zhì)。核心就是“對(duì)角線(xiàn)”。三角形中是沒(méi)有對(duì)角線(xiàn)的。所以學(xué)習(xí)四邊形，要特別留意對(duì)角線(xiàn)。矩形，菱形，正方形的判定中，都有通過(guò)對(duì)角線(xiàn)來(lái)判定的定理。

學(xué)習(xí)平行四邊形，要注意總結(jié)平行四邊形，矩形，菱形和正方形的相互關(guān)系。除了掌握課本上的定理之外，還要善于自己總結(jié)一些平行四邊形相關(guān)的結(jié)論。老師給你總結(jié)一百遍，不如自己親自總結(jié)一遍。

比如下面圖1中，P為平行四邊形ABCD內(nèi)部任意一點(diǎn)，四個(gè)小平行四邊形的面積有什么關(guān)系？圖2中P也是平行四邊形ABCD內(nèi)部任意一點(diǎn)，四個(gè)小三角形的面積有什么關(guān)系？你能總結(jié)出來(lái)并把它作為一個(gè)結(jié)論用在以后的題目中嗎？

另外，三角形有很多心，相比來(lái)說(shuō)，平行四邊形要專(zhuān)一的多，只有一個(gè)心，就是對(duì)稱(chēng)中心。

 

再說(shuō)說(shuō)梯形。對(duì)于梯形，我們要掌握六種常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的作法，見(jiàn)下圖：

這幾個(gè)輔助線(xiàn)作法，你有什么要總結(jié)的嗎？其實(shí)總結(jié)起來(lái)很簡(jiǎn)單：我們一般不直接處理梯形，而是通過(guò)作輔助線(xiàn)的方法，將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或者三角形以后再處理。這就是數(shù)學(xué)中非常重要的化歸的思想。

其中圖一到圖四是轉(zhuǎn)化成平行四邊形，圖五和圖六是轉(zhuǎn)化成三角形。至于具體題目中用哪種輔助線(xiàn)，就需要你自己去摸索總結(jié)了，也許不同輔助線(xiàn)的方法都可以解出，這就叫做一題多解，殊途同歸。學(xué)會(huì)了一題多解，你的數(shù)學(xué)解題能力就會(huì)提高一大截。

小學(xué)生進(jìn)入初中以后，最先接觸的就是“數(shù)”：正數(shù)，負(fù)數(shù)，有理數(shù)，無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)；其次是“式”：?jiǎn)雾?xiàng)式，多項(xiàng)式，整式，分式，二次根式。“數(shù)”跟小學(xué)聯(lián)系的比較緊密，也比較簡(jiǎn)單，暫且不說(shuō)。“式”則初步展現(xiàn)出初中數(shù)學(xué)的變化和豐富多彩，其中尤其以代數(shù)恒等變形和因式分解為重難點(diǎn)，核心是兩個(gè)公式：完全平方公式和平方差公式。

別小看了完全平方公式，如果你會(huì)聯(lián)想，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它就是二次根式化簡(jiǎn)的依據(jù)，是配方法和公式法解一元二次方程的基礎(chǔ)，也是二次函數(shù)求頂點(diǎn)坐標(biāo)和最小值的基礎(chǔ)，甚至是高中數(shù)學(xué)基本不等式章節(jié)的基礎(chǔ)。

 

把前面兩個(gè)公式反過(guò)來(lái)寫(xiě)，就是因式分解過(guò)程。因式分解是解高次方程的基礎(chǔ)，也是解決代數(shù)式化簡(jiǎn)、求值、證明等諸多題型的大殺器，居家旅行必備靈丹妙藥。因式分解的方法加起來(lái)有七八種之多，常見(jiàn)的是提公因式法，公式法，分組分解法和十字相乘法四種，更有技巧的是添項(xiàng)法、拆項(xiàng)法、待定系數(shù)法和求根法。后面幾種方法一般不作要求，但是對(duì)于學(xué)習(xí)欲望較強(qiáng)的同學(xué)，我會(huì)建議他們?nèi)�學(xué)習(xí)了解。俗話(huà)說(shuō)，不入虎穴，焉得虎子。只有深入探究數(shù)學(xué)的各種奇思妙想，你才能感受并進(jìn)入到數(shù)學(xué)這個(gè)美妙的世界。

 

例如很常用的立方和公式和立方差公式

其因式分解方法就是用的“添項(xiàng)法”：

有了這幾個(gè)基本公式，就可以用 來(lái)表達(dá)所有關(guān)于a和b的對(duì)稱(chēng)式。

這就是代數(shù)恒等變形，用了完全平方公式，立方和公式，因式分解等手段。其指導(dǎo)思想是化歸思想：高次化低次，復(fù)雜化簡(jiǎn)單。

 

下面是一個(gè)雙重二次根式化簡(jiǎn)求值題：

有些同學(xué)不會(huì)做這道題。我問(wèn)他們：完全平方公式你會(huì)嗎？他們說(shuō)當(dāng)然會(huì)啊，隨即在紙上熟練寫(xiě)下公式。我說(shuō)要化簡(jiǎn)就得去根號(hào)，所以你看看能否把根號(hào)里面的式子化成完全平方的形式？這時(shí)候問(wèn)題就來(lái)了，有的學(xué)生說(shuō)：老師，帶字母的完全平方公式我會(huì)，沒(méi)有字母的不會(huì)；有的問(wèn)：這里只有兩項(xiàng)之和，要化成完全平方需要三項(xiàng)�。∵@些問(wèn)題的出現(xiàn)，究其原因，在于只是“認(rèn)識(shí)”公式的樣子，沒(méi)有理解公式的本質(zhì)。這是導(dǎo)致“公式定理我都知道，但是就是不會(huì)用，不會(huì)解題”的根本原因。古人說(shuō)，射人先射馬，擒賊先擒王；又說(shuō)，打蛇打七寸。意思是說(shuō)做事情要抓住本質(zhì)和要害，學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，是觀察力，抽象概括能力的綜合反應(yīng)。（注：此題答案為6。）

 

  （未完待續(xù)。。。）